Cuando tenemos que estudiar una asignatura, lo primero que se nos plantea es ¿por qué tenemos que hacerlo?, esto es, ¿qué objetivos se persiguen con una inclusión del Álgebra en los programas de estudio?.
Pues bien, el objetivo de que Álgebra esté entre las asignaturas, es evidente: porque hay que aprender Álgebra. Pero ¿Por qué hay que aprenderlo? Las razones, son de distintos tipos. Por un lado, la lógica del ordenador es la lógica del método deductivo. Esta lógica la empezaron a utilizar los griegos cuando la ciencia empezó a serlo, y es la que sigue estando vigente en el Álgebra (aunque la palabra Álgebra tenga un origen árabe). Por otro lado, el lenguaje que entiende el ordenador es un lenguaje preciso y formalizado como el lenguaje que se emplea en el Álgebra.
En el estudio del Álgebra podemos distinguir dos facetas, por un lado, el estudio de las estructuras algebraicas, es decir, la cara más moderna de la asignatura. El beneficio que nos reporta este estudio es que al conocer una estructura y obtener unas propiedades inherentes a la estructura, nos valen para cualquier conjunto que la tenga; es el caso de álgebras de proposiciones o de circuitos o de los espacios vectoriales en Análisis o en Física. La faceta más clásica de la asignatura es la modelización y solución de problemas, proporcionándonos herramientas para trabajar en la casi totalidad del resto de las materias, solución de sistemas de ecuaciones, matrices, determinantes, etc.
Por tanto, estas razones justifican que sea una asignatura troncal, que se recomienda cursar en el primer cuatrimestre y que su programa se deba conocer en su totalidad.
1.1. Descripción y justificación; contextualización en el conjunto de la carrera y vinculación con otras asignaturas.
El programa de la asignatura de Álgebra Lineal, es un programa estándar en cuanto a contenidos y número de créditos, con duración cuatrimestral. La carga docente de ésta, como de cualquier otra asignatura troncal, es de siete créditos, que la asignatura tenga 7 créditos, quiere decir, que apróximadamente corresponde a 70 horas de clase si seguimos el criterio antiguo para medir el peso de una asignatura.
El número de horas que se le dedica en una tutoría es manifiestamente inferior, por ello, las tutorías no se pueden entender como las clases en la enseñanza presencial, y como consecuencia, el alumno acostumbrado a la enseñanza presencial, tiene que modificar sus hábitos de trabajo y hacer su propia programación en la distribución del tiempo de estudio, apoyado por su Centro Asociado y por los profesores de
Como cualquier programa de ALGEBRA LINEAL de Primer Curso de una Escuela Técnica estudia en principalmente la estructura de ESPACIO VECTORIAL y su entorno.
Es un programa que está muy ajustado y cualquier mutilación lo dejaría inconsistente, por ello, son materia de estudio de esta asignatura TODOS los apartados que la componen. Además cada uno de ellos es un escalón que permite el paso al siguiente, para llegar al final al manejo de esa herramienta útil a las demás asignaturas del plan de estudios vigente de que hablábamos en la presentación.
El Plan de Estudios vigente es el aprobado en el B.O.E. del 16 de marzo de 1993. Está especificado en la guía del curso y desarrollado en las Unidades Didácticas complementadas por el libro Problemas de Álgebra que aparece en bibliografía básica y los demás textos que se recomiendan.
El nivel a que se debe estudiar la materia que forma el programa es el que tienen las Unidades Didácticas. Esto quiere decir que se deben conocer y manejar con soltura los conceptos, así como sus propiedades y consecuencias, y los algoritmos necesarios para desarrollar las aplicaciones. A este nivel se accede con facilidad si se parte de unos prerrequisitos ineludibles que se especifican en cada Capítulo de las Unidades Didácticas.
1.2. Presentación del equipo docente.
El profesorado de
Por ello, los profesores de
El Equipo Docente de la asignatura está formado por:
Ana Díaz Hernández (Coordinadora)
Vicente Bargueño Fariñas
Horario de guardia y consultas de la asignatura
Las consultas y tutorías se atenderán básicamente los jueves de
El horario de permanencia de los profesores es
Ana Díaz Hernández: Martes y Miércoles de
Vicente Bargueño: Martes y Miércoles de
Elvira Hernández García: Martes y Miércoles de
Además, el teléfono cuenta con un sistema de contestador automático donde se pueden dejar mensajes. Recomendamos su uso y nos comprometemos a devolveros la llamada en cuanto nos sea posible.
Los posibles cambios en estos horarios se reflejarán en
Nombre del profesor
Departamento de Matemática Aplicada
Apdo. de Correos 60.149
28040 Madrid
Unidad Didáctica 1
Esta Unidad Didáctica es central en el desarrollo de la asignatura, pues en ella se introduce la estructura fundamental de espacio vectorial, así como las técnicas y herramientas básicas que se van a utilizar en el resto del curso. Además, se establecen los prerrequisitos y se introducen las notaciones básicas necesarias para el desarrollo del curso. Muchas de estas nociones son conocidas por los alumnos, pero en este sentido
Esta primera Unidad comienza con el estudio de los espacios vectoriales, el e.v., una estructura omnipresente en Matemáticas desde mediados del siglo pasado y objeto de estudio del Álgebra Lineal. Una de las misiones del informático es procesar la información, y los datos son parte de la información. Pues bien, es mucho mas fácil para su manejo el tener los datos organizados según una estructura que tenga propiedades que permitan soluciones algorítmicas para dinamizar su tratamiento. Como es natural, en Álgebra se estudia la estructura matemática; las aplicaciones, se verán en las correspondientes asignaturas.
Si bien en el Tema 1 se estudian los espacios vectoriales, la estructura fundamental del Álgebra, en el Tema 2 se responde a la pregunta natural ¿qué aplicaciones conservan esta estructura?. La respuesta es las aplicaciones lineales, estudiándose en este tema también su representación analítica, las matrices. Este tema puede resultar en muchos casos el más problemático de todo el curso, ya que las aplicaciones lineales están como prerrequisito en este capítulo, aunque hay muchos alumnos que no las han estudiado nunca y pueden asustarse con el vocabulario y las notaciones empleadas. Para subsanar ésto, sólo hay que estudiar el tema y comprobar que, al utilizar frases como "A es la expresión analítica de un endomorfismo" (página 179 de las Unidades Didácticas), este endomorfmismo aquí no es otra cosa que una aplicación lineal de un espacio vectorial en sí mismo y su expresión analítica es una matriz. Es decir, hay que intentar comprender lo que se dice en el contexto, sin asustarse, ya que siempre se pueden consultar los conceptos con los que no estamos completamente familiarizados o bien en libros de
El Tema 3 está dedicado al estudio de los determinantes, que son una herramienta óptima a utilizar para simplificar las operaciones realizadas en matrices, bases de espacios vectoriales, etc. Su uso nos va a hacer menos costoso en esfuerzo y tiempo el camino para llegar a los mismos resultados que con otras herramientas.
Espacios Vectoriales |
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1.1. Introducción al apartado1.1.1. Contenidos 1.1.2. Introducción Histórica 1.1.3. Conocimientos Previos 1.1.4. Resultados Importantes 1.1.5. Objetivos Específicos 1.2. Desarrollo de ContenidosNo hay información al respecto. 1.3. Actividades de RefuerzoNo hay información al respecto. ContenidosComenzaremos por indicar cuál es el contenido de este tema 1. Estructura de espacio vectorial sobre R 2. Subespacio vectorial. Sistema de generadores 3. Base de un espacio vectorial finito. Coordenadas. Teoremas de la base 4. Suma y suma directa de subespacios En etapas anteriores de nuestra formación se han conocido y manejado ejemplos básicos de espacios vectoriales, como R2 y R3, y también probablemente la noción de "vector" como segmento orientado, por los cursos de Física recibidos. A partir de estas nociones conocidas, se trata de ir descubriendo la estructura básica subyacente en todos estos ejemplos. Ahora es el momento de introducir la definición formal de la estructura de espacio vectorial sobre K (que será R o C, aunque debemos advertir que, aunque es general que se trabaje sobre un cuerpo conmutativo K, el curso completo está desarrollado sobre el cuerpo de los números reales) y después de la comprobación de las propiedades inmediatas deducidas directamente de los axiomas, se estudiarán distintos ejemplos, como R3, Rn o el conjunto de polinomios en una incógnita. Sin embargo, existen una buena cantidad de ejemplos que nos resultan menos familiares, pero que ilustran la abundancia de la estructura de espacio vectorial en las Matemáticas, como puede ser el conjunto de todas las funciones reales sobre un conjunto no vacío X, con las operaciones puntuales. La consideración de algunos subconjuntos notables (las funciones continuas o las diferenciables cuando X = [a,b], etc.) llevará de modo natural a la noción de subespacio. Pasaremos al estudio de los subespacios vectoriales y su caracterización. Parece natural responder a la pregunta: ¿cómo se generan los subespacios de un espacio? Para ello, se introduce el concepto de combinación lineal de vectores; así aparece el subespacio vectorial generado por un conjunto no vacío de vectores S al que llamaremos <S> y que coincide con la intersección de todos los subespacios vectoriales que contienen a S. Estamos hablando ya de un sistema de generadores de un subespacio vectorial. El hecho de que <S> sea el menor espacio vectorial que contiene S, nos permite analizar como consecuencia las transformaciones que se pueden hacer en un sistema de generadores sin que varíe el subespacio obtenido. El paso siguiente es conseguir que ese sistema de generadores sea lo más pequeño posible. La solución a este problema nos lleva a las nociones de dependencia e independencia lineal de vectores y a su caracterización vectorial como un sistema de generadores linealmente independientes. Caracterizaremos una base demostrando que las coordenadas de un vector de E respecto a esa base son únicas. Este hecho proporciona una gran ventaja para operar con los elementos de E, reduciendo los problemas de estos a otros relativos a las coordenadas respecto a una base de esos elementos. Las innegables ventajas que se derivan de disponer de una base sugieren de manera natural la pregunta siguiente: ¿existe siempre una base en un espacio vectorial?. Si la respuesta es afirmativa, ¿qué relación existe entre las distintas bases? La respuesta es que todo espacio vectorial no nulo finitamente generado admite una base finita y todas las bases tienen el mismo número de vectores. Se llega así a la noción de dimensión de un espacio finitamente generado. El uso de coordenadas respecto a una base en distintos ejemplos de espacios de dimensión n permitirá hacer notar la identidad básica con el modelo canónico Kn, lo que se explicitará formalmente en el siguiente tema. Se muestra a continuación que todo sistema linealmente independiente se puede ampliar a una base del espacio, lo que permite gran flexibilidad en la elección de bases con propiedades prefijadas. Es fácil ver que, a diferencia de la intersección, la unión no preserva la estructura de subespacio. Parece, pues, natural la búsqueda del subespacio generado por la unión de dos subespacios. La respuesta nos va a conducir directamente a la noción de suma de subespacios, como el subespacio generado por la unión. Si la intersección de ambos subespacios es el vector cero, se llega al concepto de suma directa. Para terminar este tema, se estudia la fórmula de Grassmann, que relaciona las dimensiones de dos subespacios con las de su suma y su intersección. Introducción históricaEn los orígenes de las Matemáticas aparecen problemas que se traducen en la resolución de una ecuación de la forma ax = b, que son los problemas típicos del Álgebra Lineal. Técnicas para resolver este tipo de problemas (la "regla de tres") se encuentran en los documentos matemáticos más antiguos conocidos. Sin embargo, el desarrollo del Álgebra Lineal en el sentido moderno del término, se puede decir que comienza con las ideas de Fermat, en el siglo XVIII, quien concibe el principio de El concepto de vector como segmento dirigido en el plano o en el espacio para representar fuerzas, velocidades o aceleraciones, se remonta a Aristóteles, quien también conocía algunas de sus propiedades algebraicas. El desarrollo de El estudio sistemas de ecuaciones propició, de modo natural, el paso del plano y el espacio ordinario al espacio de n dimensiones (como conjunto de entes determinados por n coordenadas, o bien directamente como conjunto de n-uplas), que puede adivinarse ya en Gauss y ya aparece claramente en los matemáticos de la siguiente generación. En todo caso, Cayley y Grassmann ya manejan libremente en 1846 las propiedades algebraicas del espacio n-dimensional: subespacios, generadores, dimensión, suma, intersección, así como las fórmulas del cambio de coordenadas. En el último tercio del siglo XIX aparece la noción de estructura y toma carta de naturaleza el método axiomático. Es G. Peano, uno de los creadores de este método quien en su libro Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di Grassmann, preceduto dalle operazioni della logica deduttica, publicado en 1888, introduce la noción abstracta de espacio vectorial (de dimensión finita o no) sobre el cuerpo de los reales, junto con las nociones habituales de dependencia e independencia lineal, aplicación lineal, etc., con un lenguaje absolutamente moderno. En cualquier caso, la estructura de espacio vectorial es omnipresente en las Matemáticas desde mediados del pasado siglo. A través de la noción fundamental de base, el estudio de cualquier espacio vectorial se traslada al estudio de las coordenadas de los entes matemáticos bajo consideración, independientemente de su naturaleza concreta, lo que permite, en el caso de dimensión finita, su reducción al modelo canónico de Rn en el que la noción general se había originado. Conocimientos previosLos conocimientos previos más importantes que se deben tener para poder abordar el estudio de este tema y no encontrarse dificultades añadidas son · Producto cartesiano · Correspondencia · Aplicación · Grupo · Subgrupo · Anillo · Cuerpo Para un mejၯr aprovechamiento del estudio, en caso de no haber asimilado estos conceptos, es recomendable consultar o bien Resultados importantesLos resultados más importantes del Tema 1, referente a Espacios vectoriales, son · Estructura de espacio vectorial sobre R · Definición de espacio vectorial · Ejemplos de espacios vectoriales · Propiedades del espacio vectorial · Subespacio vectorial. Sistema de generadores o Definición de subespacio vectorial o Condición necesaria para que un subconjunto de un espacio vectorial sea un subespacio vectorial o Ejemplos de subespacios vectoriales o Propiedades de los subespacios vectoriales o Combinación y dependencia lineal o Subespacio generado por un conjunto de vectores o Sistema de generadores · Base de un espacio vectorial finito. Coordenadas. Teoremas de la base o Independencia lineal o Sistema libre de vectores o Conjuntos equivalentes de vectores o Base de un espacio vectorial o Teoremas de la base o Dimensión de un espacio vectorial. Propiedades o Dimensiones de un subespacio. Rango de un sistema de vectores · Suma y suma directa de subespacios · Suma de subespacio. Dimensiones de la suma · Suma directa de subespacio. Dimensiones de la suma directa Objetivos específicosLos principales objetivos específicos que se persiguen con el estudio de este tema son o Reconocer con soltura cuándo un conjunto tiene estructura de espacio vectorial y si es o no subespacio vectorial de otro espacio. o Dado un conjunto de vectores, reconocer su dependencia o independencia lineal. o Dado un conjunto de vectores, comprobar si genera un espacio vectorial dado. o Reconocer una base en un espacio de dimensión finita y manejar con soltura las coordenadas de un vector respecto de ella. o Estudiar la dimensión de un subespacio vectorial, definido por distintos procedimientos: conjunto generador, intersección, suma, etc. o Utilización de medios informáticos, como pueda ser la programación en algún lenguaje que el alumno conozca o el uso de programas comerciales como Derive para la resolución de los cálculos en los problemas propuestos. | |||||||
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2.1. Introducción al apartado2.1.1. Contenidos 2.1.2. Introducción histórica 2.1.3. Conocimientos previos 2.1.4. Resultados importantes 2.1.5. Objetivos específicos 2.2. Desarrollo de ContenidosNo hay información al respecto. 2.3. Actividades de RefuerzoNo hay información al respecto. ContenidosEl contenido de este tema es el siguiente 1. Aplicaciones lineales. Matriz asociada a una aplicación lineal 2. Núcleo e imagen de una aplicación lineal 3. Matrices sobre el cuerpo R 4. El espacio vectorial Mnxm Se introduce la noción de aplicación lineal entre espacios vectoriales como aquella aplicación que "conserva la estructura vectorial". Entre los distintos ejemplos, destacamos el básico de la aplicación que hace corresponder a un vector de un espacio de dimensión finita, sus coordenadas respecto a una base fijada previamente. A continuación se establece la estructura lineal del espacio L(E,F) de todas las aplicaciones lineales de E en F. Hacemos notar que, cuando E = F, la composición de endomorfismos es un endomorfismo. En el siguiente apartado se definen las nociones de núcleo e imagen de una aplicación lineal, estableciendo la fórmula (que resultará de gran importancia en temas posteriores) dim E = dim Nuc f + dim Im f, para una aplicación lineal f entre espacios de dimensión finita E y F. También hay que caracterizar las aplicaciones inyectivas y suprayectivas, llegando así a la noción de isomorfismo. El resultado fundamental es que dos espacios vectoriales de dimensión finita son isomorfos si y sólo si tienen la misma dimensión. En particular, todo espacio vectorial de dimensión n es isomorfo a Kn, lo que resalta el papel de estos espacios como modelos generales de los espacios de dimensión n, que son el ámbito natural en el que nos vamos a desenvolver a lo largo del curso, y al que nos ceñiremos a partir de ahora, salvo mención expresa, en nuestros comentarios. El hecho de que una aplicación lineal f entre dos espacios vectoriales E y F quede totalmente determinada por las imágenes de los vectores de una base, hace que si se fijan sendas bases {u1,...un} en E y {v1,...vm} en F, la aplicación f quede unívocamente determinada por las coordenadas de f(u1),..., f(un) respecto a {v1,...vm}, f(ui)=a1iv1+...+amivm Este hecho lleva de modo natural a la introducción de la noción de matriz asociada a f respecto de las bases {ui} y {vj}. De este modo se introduce el simbolismo matricial, y se deducen las propiedades elementales de cálculo. Así, dados dos espacios vectoriales E y F, de dimensiones n y m, respectivamente, y fijando sendas bases en ellos, queda establecido un isomorfismo entre L(E,F) y el espacio vectorial Mmxn de las matrices de orden mxn. A continuación se introduce el producto de matrices (siempre que sea posible) como la matriz correspondiente a la composición de dos aplicaciones lineales asociadas tras fijar sendas bases, de donde se deducen fácilmente las propiedades del álgebra de matrices. En particular, la matriz asociada a un isomorfismo es inversible. Un caso particularmente importante es el isomorfismo asociado al cambio de base en un mismo espacio vectorial. Se plantea el problema de determinar la relación que existe entre las coordenadas de un vector referido a dos bases diferentes del mismo espacio, lo que es equivalente a encontrar la matriz del isomorfismo identidad, referido a las bases en cuestión. En particular, la matriz del cambio de base es siempre inversible. En este tema también se estudian la suma de matrices del mismo orden y el producto de matrices por escalares, veindo que el conjunto de matrices de un mismo orden tiene estructura de espacio vectorial, enlazando así con el tema anterior. Introducción históricaAunque los cambios de coordenadas cartesianas conducen a cálculos idénticos a los de la teoría de transformaciones lineales, éstas aparecen más claramente (bajo el nombre de sustitución lineal) en los trabajos sobre clasificación y reducción de formas cuadráticas de coeficientes enteros, de dos variables en Lagrange y de tres variables en Gauss. Este último para representar la sustitución lineal) que reemplaza x, y, z por ax + by + cz, a'x + b'y + c'z, a''x + b''y + c''z, utiliza por primera vez una notación matricial
que designa con un único símbolo S. Gauss hace notar también que si después de una sustitución S se realiza otra U, el efecto es el mismo que realizar una sustitución cuya tabla de coeficientes es precisamente la correspondiente a lo que después se llamaría el producto de las matrices de U y S. También comenta brevemente que el resultado sería cierto para cualquier número de variables. Eisenstein, en 1844, utiliza el mismo simbolismo en sus trabajos sobre teoría de números, y destaca que hay que distinguir claramente entre SxU y UxS. Es Cayley, en 1855, quien al estudiar el comportamiento de los invariantes bajo transformaciones lineales, introduce la notación matricial para representar las transformaciones con toda generalidad al objeto de simplificar la notación, aunque el nombre de matriz para designar una tabla rectangular de números, se debe a la fértil imaginación de Sylvester. En 1858 publica A Memoir on the Theory of Matrices, que se considera el trabajo definitivo que dió origen a la teoría de matrices. En él se define la adición y el producto por escalares. La definición de producto de matrices está motivada (como en el caso de Gauss) por su interpretación como representación analítica de una transformación lineal y la imposición de que la matriz producto represente la transformación composición. Cayley prueba todas las propiedades algebraicas de las operaciones con matrices. Define el polinomio característico de una matriz cuadrada A como p(A) = |A-lI|, (noción ya introducida por Cauchy en términos de determinantes; sus raíces son los autovalores de A) y enuncia el llamado Teorema de Hamilton-Cayley, que expresa que A es raíz de su polinomio característico: p(A) = 0, aunque sólo demuestra el teorema para n = 2 y n = 3. Conocimientos previosLos conocimientos previos más importantes que se deben tener para poder abordar el estudio del Tema 2 y no encontrarse dificultades añadidas son · Grupo abeliano · Correspondencia · Aplicación Para un mejor aprovechamiento del estudio, en caso de no haber asimilado estos conceptos, es recomendable consultar o bien Resultados importantesLos resultados más importantes de este tema son · Aplicaciones lineales. Matriz asociada a una aplicación lineal o Aplicación lineal. Definición. Caracterización. Propiedades o Matriz asociada a una aplicación lineal. Determinación de la aplicación · Núcleo e imagen de una aplicación lineal o Definición de imagen o Definición de núcleo · Matrices sobre el cuerpo R o Definición de matriz. Algunos tipos de matrices o Suma de matrices o Producto de una matriz por un escalar o Producto de matrices · El espacio vectorial Mnxm o Comprobación de la estructura de espacio vectorial o Base canónica Objetivos específicos Los principales objetivos específicos que se persiguen con el estudio de este tema son · Conseguir la idea clara de lo que es una aplicación lineal, y su identificación con la matriz asociada. · Adquirir fluidez en el uso de las matrices como herramienta. · Manejar con soltura los cambios de coordenadas, para lo que hacemos notar el carácter intrínseco del vector, independientemente de las coordenadas en que se exprese. · Es útil que el alumno se acostumbre al uso del programa Derive o uno similar, cuando el volumen de los cálculos matriciales previstos en el proceso matemático dificulte éste. | |||||||||
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3.1. Introducción al apartado3.1.1. Contenidos 3.1.2. Introducción histórica 3.1.3. Conocimientos previos 3.1.4. Resultados importantes 3.1.5. Objetivos específicos 3.2. Desarrollo de ContenidosNo hay información al respecto. 3.3. Actividades de RefuerzoNo hay información al respecto. ContenidosEl contenido de esta parte del programa es 1. Concepto y propiedades 2. Menor complememntario y adjunto 3. Matriz inversa 4. Rango de una matriz De cursos anteriores ya son conocidos los determinantes de orden 2 y 3, así como sus propiedades fundamentales. En este tema se trata de introducir el determinante de una matriz cuadrada de cualquier orden n³1. Esta noción se puede introducir a través de la fórmula |A| = donde se tienen en cuenta las permutaciones a y su clase, que también son estudiadas en este tema. Los determinantes también se pueden estudiar a través de un método que pone claramente de manifiesto las propiedades esenciales de los mismos, que son importantes en las aplicaciones. Estas propiedades, conocidas por el alumno para el caso de los determinantes de orden 2 y 3, se tomarán como axiomas para definir una función determinante, como función n-lineal alternada de las n filas de una matriz A = (aij) de orden nxn. De la definición se deducen inmediatamente las propiedades elementales de los determinantes, así como su unicidad, si se impone que el determinante de la matriz unidad valga 1. Se calculan directamente los determinantes de algunas matrices especiales (diagonales o triangulares), y se vuelven a obtener las fórmulas conocidas para los casos n = 2 y n = 3. A partir de un sencillo lema (caso particular de la "regla de Laplace") para obtener el determinante de una matriz de los tipos
donde B, C y D son matrices cuadradas y 0 es la matriz nula, se prueba muy fácilmente la fórmula que da el determinante del producto de dos matrices, como producto de los determinantes de los factores. Se obtiene la expresión de la inversa de una matriz inversible. A continuación se prueba la propiedad esencial de los determinantes, como criterio para determinar la independencia lineal de las filas (o columnas) de una matriz. Se introduce la noción de rango de una matriz mxn como el número de vectores filas linealmente independientes, y se prueba que coincide con el máximo de los órdenes de los menores de A con determinante no nulo y, por tanto, con el rango de la matriz transpuesta. Si f es una aplicación lineal entre los espacios vectoriales E y F, se había definido en el Tema 2 el rango de f como la dimensión de la imagen de f. Se comprueba entonces sin dificultad que el rango de f coincide con el rango de la matriz de f respecto a dos bases cualesquiera en E y F. Si ahora E = F, se define el determinante de f como el determinante de la matriz de f respecto a una base cualquiera en E (probando previamente que este determinante no depende de la base elegida). En particular, dados n vectores x1,...,xn en E y una base B = {u1,...,un}, queda unívocamente determinado un endomorfismo f por la condición f(ui) = xi (1£ i£ n). Al determinante de f (que no es más que el determinante de la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los xi respecto a la base B) le llamaremos determinante de los vectores x1,...,xn, y se comprueba inmediatamente que la definición no depende de la base elegida. Se llega así al criterio general de independencia lineal: x1,...,xn son linealmente independientes si y sólo si su determinante es no nulo. Finalmente, hacemos notar que, con las notaciones anteriores, el rango de f es el número de vectores linealmente independientes entre los x1,...,xn. Introducción históricaLos determinantes aparecen en Matemáticas en relación con los problemas de eliminación y resolución de sistemas lineales. Ya en 1693 Leibniz usó un conjunto sistemático de índices para designar los coeficientes de un sistema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas. Por un proceso de eliminación, obtuvo una expresión (la resultante del sistema, que no es más que el determinante de los coeficientes), cuya anulación era condición necesaria y suficiente para que el sistema tuviera solución. La búsqueda de fórmulas explícitas de resolución de sistemas lineales, iniciada por MacLaurin en 1729 parece ser el origen más directo de la teoría de determinantes. Vandermonde, en una Memoria aparecida en 1772, fue el primero en dar una exposición sistemática y detallada de la teoría. Demuestra las propiedades generales de los determinantes, como el hecho de que son funciones multilineales alternadas de sus filas y de sus columnas, la igualdad de un determinante y su transpuesto y también la regla para desarrollar un determinante por una fila o columna. Como la mayor parte de los algebristas de la época, Vandermonde se contenta con verificar las propiedades para valores pequeños de n. El nombre de determinante se debe a Cauchy, quien también introdujo el uso de dobles subíndices y la disposición de los elementos en un cuadrado de n2 puntos (las líneas verticales fueron introducidas posteriormente por Cayley). Como en muchos otros temas, es Cauchy quien establece la teoría general, dando demostraciones rigurosas y completas. Establece también la fórmula general que da el producto de dos determinantes como otro determinante así como las relaciones entre los determinantes formados con los menores de distintos órdenes de un determinante dado. A partir del trabajo de Cauchy, los determinantes van a convertirse en una herramienta básica en todos los problemas de Álgebra Lineal, y su estudio fue objeto preferente de atención de los matemáticos del siglo XIX. También aparecen los determinantes en conexión con problemas de Análisis Matemático, como el cambio de variable en una integral doble, el estudio de la dependencia funcional, los sistemas lineales de ecuaciones diferenciales, etc. En este área, hay que destacar el trabajo de Jacobi, quien en 1841 publicó un extenso artículo sobre el tema, probando la fórmula de la derivada de un determinante cuyos elementos sean funciones de una variable, introduciendo el jacobiano de un conjunto de funciones y estableciendo sus principales propiedades. Finalmente, señalaremos que, al parecer, fueron Kronecker y Weierstrass los que introdujeron en sus cursos el tratamiento de los determinantes como formas multilineales alternadas. Conocimientos previosLos conocimientos previos más importantes que se deben tener para poder abordar el estudio de este tema y no encontrarse dificultades añadidas son únicamente el concepto de matriz, sus tipos y sus propiedades. Esto no supone ningún problema, en este caso, ya que si se ha estudiado el Tema 2, éstos ya han sido adquiridos. Resultados importantesLos resultados más importantes de este tema son · Concepto y propiedades o Definición de determinante de una matriz cuadrada o Propiedades · Menor complementario y adjunto o Definición de menor complementario de un elemento o Definición de adjunto de un elemento o Definición de menor complementario de un menor o Definición de adjunto de un menor o Cálculo práctico de determinantes o Teorema de Laplace o Propiedades de los determinantes o Matrices regulares · Matriz inversa o Cálculo de la matriz inversa mediante determinantes o Propiedades de la matriz inversa · Rango de una matriz o Rango de una matriz mediante determinantes
Objetivos específicosLos principales objetivos específicos que se persiguen con el estudio de este tema son · Eliminar, a traves de ejemplos, la posibilidad de confusión entre matriz y determinante que pueda surgir. · Utilizar las propiedades para calcular el determinante de una matriz por reducción al cálculo de otros de matrices más sencillas. · Saber interpretar de manera adecuada los resultados obtenidos con determinantes en situaciones como: determinación de dependencia lineal de vectores, problemas de aplicaciones lineales, inversibilidad de matrices, etc. |
Unidad Didáctica 1
Bibliografía
Bibliografía Básica
Tejero, L.; Ruiz, L.M.; Romera, C.: Álgebra para Informática. Ed. UNED. Unidades Didácticaၳ, Madrid, 1993. Libro donde el contenido de los Temas 1, 2 y 3 coincide prácticamente con el contenido de los Capítulos 1, 2 y 3 de este libro. Para posibles dudas o aclaraciones sobre los contenidos, en especial relativas a aplicaciones lineales, recomendamos el libro Problemas de Álgebra de V. Bargueño, donde hay un calro resumen de los resultados más importantes.
Bargueño, V.: Problemas de Álgebra. Ed. UNED. Colección Cuadernos. Madrid, 1995. Este texto, con indicaciones teóricas, complementa perfectamente las Unidades Didácticas, incorpora resúmenes de la teoría que darán al estudiante una visión clara de los contenidos teóricos (aunque recomendamos que no se limiten a este resumen), y contiene una gran cantidad de ejercicios cuyo nivel de dificultad está muy bien graduado. Los Temas 1, 2 y 3 corresponden a los Capítulos 1,2 y 3.
Bibliografía Auxiliar
Burgos, J.: Álgebra Lineal y Geometría Cartesiana. Mc Graw-Hill. Madrid, 2000. En este texto los resultados están expuestos claramente, con demostraciones. Además hay una gran cantidad de ejemplos y ejercicios. Los Temas 1, 2 y 3 corresponden a los Capítulos 5, 6, 4 y 3, respectivamente. Destacamos el Capítulo 6, donde se pueden repasar las definiciones y propidades relativas al tema de las Aplicaciones Lineales
Castellet, M.; Llerena, I.: Álgebra Lineal y Geometría. Ed. Reverté, Barcelona, 1991. En este libro se desarrolla este tema de una manera muy directa y con economía de medios. No obstante, el estudiante que lo use debe tener cierta destreza en el uso de la herramienta matemática empleada. Si es así, encontrará que su lectura es muy agradable y formativa. El tratamiento que se quiere dar en el curso difiere en algunos puntos, especialmente en el tratamiento de los determinantes, que consideramos demasiado general y muy técnico para el nivel requeriado en el presente curso. Los Temas 1, 2 y 3 corresponden a los Capítulos IV, V y VI de este libro.
García, A. (Ed.): Matemáticas con Derive. A.G.L.I Madrid, 1994. En este libro se encuentran gran número de ejemplos resueltos sobre problemas de los Temas 1, 2 y 3 en los Capítulos 13 y 14. Además, cada Capítulo cuenta con prácticas propuestas que puede hacer el alumno para afianzar los conocimientos ya adquiridos
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